Question

【题目】已知奇函数的定义域为[-1,1]，当时，。

（1）求函数在上的值域；

（2）若时，函数的最小值为-2，求实数λ的值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在上的值域．

（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．

（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）2x．

又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），

所以当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以在上的值域为（1，2]，

（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，

所以f（x）∈（，1]．

令tf（x），则 t≤1，

g（t）f2（x）f（x）+1＝t2﹣λt+11，

①当，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，

②当1，即1＜λ≤2时，g（t）min＝g（）＝12，

解得λ＝±2 （舍去）．

③当1，即λ＞2时，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，

综上所述，λ＝4．