题目内容
【题目】已知数列
的前
项和为
，且
，
（
）.
（1）计算
，
，
，
，并求数列的通项公式；
（2）若数列
满足
，求证：数列是等比数列；
（3）由数列的项组成一个新数列
：
，
，
，
，
，设
为数列的前项和，试求
的值.
【答案】（1）详见解析，
；（2）
；（3）1
【解析】
（1）通过计算出前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明；
（2）通过
与
作差，进而计算即得结论；
（3）通过（2），利用分组法求和，进而计算可得结论．
（1）解：当
时，由
，得
；
由
，得
；
当
时，由
，得
；
当
时，由
，得
；
猜想：
．
下面用数学归纳法证明：
①当
时， ，结论显然成立；
②假设当
时，
，
由条件知
，
故
＝
＝
，
于是
，
从而
，
故数列
的通项公式为：；
（2）证明：当时，
，当
时，由条件得
＝
从而，
故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（3）解：由题意，得
故
，
从而
.
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