Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F₁为左焦点，且|AF₁|=2，又椭圆C过点$（0，2\sqrt{3}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x²+y²=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁=$\frac{3}{4}{k_2}$，证明：A，P，Q三点共线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得a-c=2，$b=2\sqrt{3}$，又b²=a²-c²，解出即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用斜率计算公式、P（x₁，y₁）在椭圆C上，可得k_PA•k₁，又${k_1}=\frac{3}{4}{k_2}$，
可得k_PAk₂．由已知点Q（x₂，y₂）在圆x²+y²=16上，AB为圆的直径，可得k_QA•k₂=-1．只要证明k_PA=k_QA即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得a-c=2，$b=2\sqrt{3}$，又b²=a²-c²=12，
解得a=4．
故所求椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴${k_{PA}}•{k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}+4}}•\frac{y_1}{{{x_1}-4}}=\frac{{{y_1}^2}}{{{x_1}^2-16}}$．
∵P（x₁，y₁）在椭圆C上，
∴$\frac{{{x_1}^2}}{16}+\frac{{{y_1}^2}}{12}=1$，即${y_1}^2=12-\frac{3}{4}{x_1}^2$．
∴${k_{PA}}•{k_1}=\frac{{12-\frac{3}{4}{x_1}^2}}{{{x_1}^2-16}}=-\frac{3}{4}$．
又∵${k_1}=\frac{3}{4}{k_2}$，
∴k_PAk₂=-1．①
由已知点Q（x₂，y₂）在圆x²+y²=16上，AB为圆的直径，
∴QA⊥QB．
∴k_QA•k₂=-1．②
由①②可得k_PA=k_QA．
∵直线PA，QA有共同点A，
∴A，P，Q三点共线．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．