若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切.则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线 .有下列四个命题:①有且只有两条直线l使得曲线C1:x2+y2=4和曲线C2:x2+y2-4x+2y+4=0为“相关曲线 ,②曲线C1:y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+1}$和曲线C2:y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}-1}$是“相关曲线 ,③当b� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

9．若存在直线l与曲线C₁和曲线C₂都相切，则称曲线C₁和曲线C₂为“相关曲线”，有下列四个命题：
①有且只有两条直线l使得曲线C₁：x²+y²=4和曲线C₂：x²+y²-4x+2y+4=0为“相关曲线”；
②曲线C₁：y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+1}$和曲线C₂：y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}-1}$是“相关曲线”；
③当b＞a＞0时，曲线C₁：y²=4ax和曲线C₂：（x-b）²+y²=a²一定不是“相关曲线”；
④必存在正数a使得曲线C₁：y=alnx和曲线C₂：y=x²-x为“相关曲线”．
其中正确命题的个数为（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

分析 ①：两条曲线都是圆，只需研究两圆的位置关系即可；
②容易判断，两条曲线是共轭双曲线（在x轴上方的部分），易知没有公切线；
③易知圆在抛物线的“内部”，所以不可能存在公切线；
④先利用导数求出C₁的切线，然后代入曲线C₂，利用判别式等于零求解．

解答解：①易知；C₁：是以（0，0）为圆心，r=2的圆；C₂：是以（2，-1）为圆心，r=1的圆，圆心距=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，大于半径之差1，小于半径之和3，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确；
②易知，曲线C₁，C₂是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），因此两曲线没有公切线，故②错误；
③因为b＞a＞0，所以在同一坐标系内做出它们的图象如下：

所以两曲线不会有公切线，故③正确；
④当a=1时，C₁：y=lnx，易求得x=1时，切线方程为y=x-1；对于C₂：当x=1时，切线方程2为y=x-1，故④正确．
所以有三个命题正确．
故选：C．

点评本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、切线方程的求法，同时，作为新定义问题，要注意对“概念”的理解．

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	A．	3x-2y-13=0		B．	3x-2y-13=0或x-2y-3=0
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