Question

12．函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）-sin2x（x∈R）的最大值是．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，令t=sinx+cosx∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得y=-${（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$，再利用二次函数的性质求得函数y取得最大值．

解答 解：函数$y=sin（x+\frac{π}{4}）-sin2x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-2sinxcosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）-2sinxcosx，
令t=sinx+cosx∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则t²=1+2sinxcosx，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-t²+1=-${（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$，
故当t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，函数y取得最大值为$\frac{9}{8}$，
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域、二次函数的性质，属于基础题．