题目内容
7.已知一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v(t)=t2-4t+3(m/s)运动,求:(1)在t=4s时的位置;
(2)在t=4s的运动路程.
分析 (1)在t=4s时的位置=${∫}_{0}^{4}({t}^{2}-4t+3)dt$;
(2)由t2-4t+3>0,解得t>3或0<t<1.在t=4s的运动路程S=${∫}_{0}^{1}({t}^{2}-4t+3)dt$-${∫}_{1}^{3}({t}^{2}-4t+3)dt$+${∫}_{3}^{4}({t}^{2}-4t+3)dt$,利用微积分基本定理即可得出.
解答 解:(1)在t=4s时的位置=${∫}_{0}^{4}({t}^{2}-4t+3)dt$=$(\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t){|}_{0}^{4}$=$\frac{4}{3}$;
∴在t=4s时的位置为离开始点$\frac{4}{3}$m;
(2)由t2-4t+3=0,解得t=1,3.
在t=4s的运动路程S=${∫}_{0}^{1}({t}^{2}-4t+3)dt$-${∫}_{1}^{3}({t}^{2}-4t+3)dt$+${∫}_{3}^{4}({t}^{2}-4t+3)dt$
=$(\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t){|}_{0}^{1}$-$(\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t){|}_{1}^{3}$+$(\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t){|}_{3}^{4}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$
=4m.
∴在t=4s的运动路程为4m.
点评 本题考查了微积分基本定理,考查了计算能力,属于中档题.
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