题目内容
【题目】设抛物线的准线与
轴交于
,抛物线的焦点
,以
为焦点,离心率
的椭圆与抛物线的一个交点为
;自
引直线交抛物线于
两个不同的点,设
.
(1)求抛物线的方程及椭圆的方程;
(2)若,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设椭圆的方程为,运用离心率公式和点满足椭圆方程,解方程可得
,进而得到椭圆的方程;再由焦点坐标可得
,进而得到抛物线的方程;
(2)记,运用向量共线的坐标表示和联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式,及基本不等式,即可得到所求范围.
(1)设椭圆的标准方程为,由题意得
,解得
∴椭圆的方程为
∴点的坐标为
,∴
,∴抛物线的方程是
(2)由题意得直线的斜率存在,设其方程为
,
由消去
整理得
(*)∵直线
与抛物线交于两点,∴
,设
,则
①,
②,
∵,
∴
∴
,③
由①②③消去得
.
∴
,即
,将
代入上式得,
,∵
在
上单调递减,
∴,即
,∴
,
∴,即
的取值范围为
.
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练习册系列答案
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【题目】已知下表为函数部分自変量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关函数值取非整数值时,取值精确到0.01.
0.61 | -0.59 | -0.56 | -0.35 | 0 | 0.26 | 0.42 | 1.57 | 3.27 | |
0.07 | 0.02 | -0.03 | -0.22 | 0 | 0.21 | 0.20 | -10.04 | -101.63 |
据表中数据,研究该函数的一些性质;
(1)判断函数的奇偶性,并证明;
(2)判断函数在区间[0.55,0.6]上是否存在零点,并说明理由;
(3)判断的正负,并证明函数
在
上是单调递减函数.