Question

【题目】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

Answer 1

【答案】
（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系

设AC∩BD=N，连接NE，

则点N、E的坐标分别是 、（0，0，1），

∴ = ，

又点A、M的坐标分别是

、

∴ =

∴ = 且NE与AM不共线，

∴NE∥AM

又∵NE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDF

（2）解：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF

∴ 为平面DAF的法向量

∵ = =0，

∴ = =0得 ， ∴NE为平面BDF的法向量

∴cos＜ ＞=

∴ 的夹角是60°

即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°

（3）解：设P（x，x，0）， ， ，则

cos =| |，解得 或 （舍去）

所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°

【解析】（I）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出直线AM的方向向量及平面BDE的法向量，易得这两个向量垂直，即AM∥平面BDE；（2）求出平面ADF与平面BDF的法向量，利用向量夹角公式求出夹角，即可得到二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°，我们设出点P的坐标，并由此求出直线PF与CD的方向向量，再根据PF与CD所成的角是60°构造方程组，解方程即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用向量语言表述线线的垂直、平行关系和用空间向量求直线间的夹角、距离的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即;则要证明，只需证明，即；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．