题目内容
【题目】已知是椭圆
与双曲线
的一个公共焦点,
分别是
在第二、四象限的公共点.若
则
的离心率为______.
【答案】
【解析】
设左焦点为F,右焦点为F′,再设|AF|=x,|AF′|=y,利用椭圆的定义,四边形AFBF′为矩形,可求出x,y的值,进而可得双曲线的几何量,即可求出双曲线的离心率.
如图,设左焦点为F,右焦点为F′,
再设|AF|=x,|AF′|=y,
∵点A为椭圆C1:上的点,2a=6,b=1,c=2
,
∴|AF|+|AF′|=2a=6,即x+y=6,①
又四边形AFBF′为矩形,
∴|AF|2+|AF′|2=|FF′|2,
即x2+y2=(2c)2=32,②
联立①②得,解得x=3﹣
,y=3+
,
设双曲线C2的实轴长为2a′,焦距为2c′,
则2a′=|AF′|﹣|AF|=y﹣x=2,2c′=4
,
∴C2的离心率是e=
故答案为:.
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