题目内容
【题目】已知
是椭圆
与双曲线
的一个公共焦点,
分别是
在第二、四象限的公共点.若
则的离心率为______．
【答案】
【解析】
设左焦点为F，右焦点为F′，再设|AF|=x，|AF′|=y，利用椭圆的定义，四边形AFBF′为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．
如图，设左焦点为F，右焦点为F′，
再设|AF|=x，|AF′|=y，
∵点A为椭圆C1：
上的点，2a=6，b=1，c=2
，
∴|AF|+|AF′|=2a=6，即x+y=6，①
又四边形AFBF′为矩形，
∴|AF|2+|AF′|2=|FF′|2，
即x2+y2=（2c）2=32，②
联立①②得
，解得x=3﹣
，y=3+，
设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′=|AF′|﹣|AF|=y﹣x=2，2c′=4，
∴C2的离心率是e=
故答案为：．
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