Question

【题目】设函数f（x）=lnx，g（x）= （m＞0）．
（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；
（2）若对任意x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求实数n的值及实数m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=1时，g（x）= ．

∴f′（x）= ，g′（x）= = ．

∵函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，

∴f′（1）g′（1）=﹣1．

即1 =﹣1，解得n=5

（2）解：∵f（1）=0，|f（x）|≥|g（x）|恒成立，

∴|g（1）|=0，即 =0，

∵m＞0，∴n=﹣1．

∴g（x）= ．

∴当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0．

又当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0．

∵x＞0时，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，

∴当0＜x＜1时，﹣lnx≥﹣ ，即lnx﹣ ≤0．

∴m≤ ，

当x＞1时，lnx≥ ，∴m≤ ．

综上：m≤ （x＞0且x≠1）．

设h（x）= ，则h′（x）= = ．

令m（x）=x﹣ ﹣2lnx（x＞0且x≠1），则m′（x）=1+ ﹣ = ＞0，

∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴当x＞1时，m（x）＞m（1）=0，当0＜x＜1时，m（x）＜m（1）=0，

∴当x＞1时，h′（x）＞0，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∵ = =2，

∴h（x）＞2．

∴m≤2．即m的最大值为2

【解析】（1）令f′（1）g′（1）=﹣1列方程解出n；（2）根据|g（1）|≤|f（1）|=0得出g（1）=0解出n，判断f（x）和g（x）的符号，去掉绝对值，使用分离参数法得出m≤ ，利用导数求出右侧函数的最小值即可得出m的最大值．