题目内容
【题目】设函数f（x）=lnx，g（x）= 
（m＞0）．
（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；
（2）若对任意x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求实数n的值及实数m的最大值．
【答案】
（1）解：m=1时，g（x）= 
．
∴f′（x）= 
，g′（x）= 
= 
．
∵函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，
∴f′（1）g′（1）=﹣1．
即1 
=﹣1，解得n=5
（2）解：∵f（1）=0，|f（x）|≥|g（x）|恒成立，
∴|g（1）|=0，即 
=0，
∵m＞0，∴n=﹣1．
∴g（x）= 
．
∴当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0．
又当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0．
∵x＞0时，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，
∴当0＜x＜1时，﹣lnx≥﹣ ，即lnx﹣ ≤0．
∴m≤ 
，
当x＞1时，lnx≥ ，∴m≤ ．
综上：m≤ （x＞0且x≠1）．
设h（x）= ，则h′（x）= 
= 
．
令m（x）=x﹣ ﹣2lnx（x＞0且x≠1），则m′（x）=1+ 
﹣ 
= 
＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴当x＞1时，m（x）＞m（1）=0，当0＜x＜1时，m（x）＜m（1）=0，
∴当x＞1时，h′（x）＞0，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∵ 
= 
=2，
∴h（x）＞2．
∴m≤2．即m的最大值为2
【解析】（1）令f′（1）g′（1）=﹣1列方程解出n；（2）根据|g（1）|≤|f（1）|=0得出g（1）=0解出n，判断f（x）和g（x）的符号，去掉绝对值，使用分离参数法得出m≤ ，利用导数求出右侧函数的最小值即可得出m的最大值．
