题目内容

13.已知A,B,C三点在同一球面上,若球心到平面ABC的距离为1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球的体积为$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$.

分析 由“∠BAC=60°,AB=1,AC=2,”得到AB即为A、B、C三点所在圆的直径,取AB的中点M,连接OM,则OM即为球心到平面ABC的距离,在Rt△OMB中,OM=1,MB=1,则OB可求,从而得出该球的体积.

解答 解:在三角形ABC中,∠BAC=60°,AB=1,AC=2,∴BC=$\sqrt{3}$,
则三角形ABC是以AC为斜边的直角三角形,
如图所示:
取AC的中点M,则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M,连接OM,则OM即为球心到平面ABC的距离,
在Rt△OMB中,OM=1,MA=1,
∴OA=$\sqrt{2}$,即球球的半径为$\sqrt{2}$.
∴球的体积为:$\frac{4}{3}π×(\sqrt{2})^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$.
故答案为:$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$.

点评 本题考查球的有关计算问题,点到平面的距离,是基础题.

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