题目内容
17．已知等差数列{an}中，a2+a4=16，a5-a3=4．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求证b1+b2+…+bn≥$\frac{1}{6}$．
分析 （1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；
（2）把等差数列的前n项和代入bn=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，列项和求出b1+b2+…bn，判断数列{Sn}的单调性，即可证明结果．
解答 （1）解：由a5-a3=4，可得2d=4，解得d=2．∵a2+a4=16，解得a2=6，a1=4
可得an=4+（n-1）×2=2n+2；
（2）证明：bn=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{（n+!）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
Sn=b1+b2+…+bn=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．
Sn-Sn-1=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$＞0，
可得{Sn}是递增数列．
因为S1=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
所以Sn$≥\frac{1}{6}$．
∴b1+b2+…+bn≥$\frac{1}{6}$．
点评 本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，证明数列不等式，数列的函数的特征的应用，是中档题．
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