题目内容
【题目】如图,四边形中,
=
=
=
分别在
上,
,现将四边形
沿
折起,使
.
(1)若,在折叠后的线段
上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点
到平面
的距离.
【答案】(1)见解析;(2)点到平面
的距离为
.
【解析】试题分析:本题考查空间线面关系的判定与证明、体积公式的应用.(1)把平面
转化为线线平行,再利用线线平行的性质即可得出结论,也可以先分析出结论,再进行证明;(2)先根据题意得到
=
=
,
时,体积有最大值,此时可得到
=
,再利用三棱锥体积公式,利用等体积的方法借助转换顶点的方法求出三棱锥的高即可.
解析:
(1) 上存在一点
,使得
平面
,
此时.
理由如下:
当时,
,
过点作
交
于点
,连结
,
则有=
=
,
∵,可得
,
故,
又,
故有,
故四边形为平行四边形,
∴,
又∴平面
平面
,
故有∴平面
成立.
(2)设,
∴=
=
,
故=
=
,
∴当时,
有最大值,且最大值为3,
此时=
,
在中,由余弦定理得
=
=
=
,
∴=
,
=
=
,
设点到平面
的距离为
,
由于,
即=
,
∴=
,即点
到平面
的距离为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近几年,京津冀等地数城市指数“爆表”,尤其2015年污染最重.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表:
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
车流量x(万辆) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
PM2.5的浓度y(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(Ⅰ)由散点图知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)(ⅰ)利用(Ⅰ)所求的回归方程,预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度;
(ⅱ)规定:当一天内PM2.5的浓度平均值在(0,50]内,空气质量等级为优;当一天内PM2.5的浓度平均值在(50,100]内,空气质量等级为良.为使该市某日空气质量为优或者为良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数.)
参考公式:回归直线的方程是,其中
,
.