题目内容
【题目】对于区间,若函数
同时满足:①
在
上是单调函数;②函数
,
的值域是
,则称区间
为函数
的“保值”区间.
(1)求函数的所有“保值”区间.
(2)函数是否存在“保值”区间?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
的取值范围是
.
【解析】分析:(1)由已知中“保值”区间的定义,结合函数的值域是
,我们可得
,从而函数
在区间
上单调递增,故有
,结合
即可得到函数函数
的“保值”区间;(2)由已知中“保值”区间的定义,我们分函数
在区间
上单调递减,和函数
在区间
上单调递增,两种情况分类讨论,分别将
用
或
表示,利用二次函数配方法可得到结论.
详解:(1)因为函数的值域是
,且
在
的最后综合讨论结果,即可得到值域是
,
所以,所以
,从而函数
在区间
上单调递增,
故有,解得
.
又,所以
.
所以函数的“保值”区间为
.
(2)若函数存在“保值”区间,则有:
①若,此时函数
在区间
上单调递减,
所以,消去
得
,整理得
.
因为,所以
,即
.
又,所以
.
因为
,
所以.
②若,此时函数
在区间
上单调递增,
所以,消去
得
,整理得
.
因为,所以
,即
.
又,所以
.
因为
,
所以.
综合①、②得,函数存在“保值”区间,此时
的取值范围是
.
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