Question

20．椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点为F₁，F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，求P点的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 利用余弦定理可知cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$＜0，通过设P（x₀，y₀），利用${{y}_{0}}^{2}$=$\frac{16-{{x}_{0}}^{2}}{4}$，代入计算即得结论．

解答 解：由题可知：F₁（-$2\sqrt{3}$，0），F₂（$2\sqrt{3}$，0），
∵∠F₁PF₂为钝角，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$＜0，
设P（x₀，y₀），则$\frac{（{x}_{0}+2\sqrt{3}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-2\sqrt{3}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}{2\sqrt{（{x}_{0}+2\sqrt{3}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}•\sqrt{（{x}_{0}-2\sqrt{3}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}$＜0，
∴$（{x}_{0}+2\sqrt{3}）^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$+$（{x}_{0}-2\sqrt{3}）^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$-$（{4\sqrt{3}）}^{2}$＜0，
又∵${{y}_{0}}^{2}$=$\frac{16-{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
∴$（{x}_{0}+2\sqrt{3}）^{2}$+$（{x}_{0}-2\sqrt{3}）^{2}$+2•$\frac{16-{{x}_{0}}^{2}}{4}$-$（{4\sqrt{3}）}^{2}$＜0，
解得：-$\frac{4}{3}\sqrt{6}$＜x₀＜$\frac{4}{3}\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．