题目内容
【题目】已知函数的最大值为
(其中
为自然对数的底数),
是
的导函数。
(1)求的值;
(2)任取两个不等的正数,且
,若存在正数
,使得
成立。求证:
。
【答案】(1).(2)见解析.
【解析】
(1)对函数求导,分情况得到函数的单调性,进而求得在处取得最值,进而求解;(2)根据导数的几何意义得到
,构造函数
,通过换元将等式右边的函数改为
,对此函数求导得到函数的单调性进而得证.
(1)由题意得,显然,∵
,∴
,
令,解得
,
①.当时,令
,解得
;令
,解得
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
∴在
处取得极大值,也是最大值,
∴,解得
;
②当时,易知与题意不符,故舍去,
综上所述,;
(2)由(1)知,则
,∴
,
∴,即
,
则
,
设,则
,
令,则
,
∴函数在
上单调递减,
∴,即
,又
,
∴,即
,∴
,
同理可证,得证。
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