题目内容
【题目】设是椭圆
上的点,
是焦点,离心率
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆上的两点,且
,问线段
的垂直平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不过定点,说明理由.
【答案】(1)(2)过,
【解析】
(1)由条件可知,并且点
代入椭圆方程,求得椭圆的标准方程;
(2)设直线的方程为
,则
,与椭圆方程联立,求得
的中点坐标,
并表示线段的垂直平分线方程,利用条件
,求得直线所过的定点,并说明当斜率不存在时,也满足.
(1)由于椭圆的离心率为,
,
所以,椭圆的标准方程为,
将点的坐标代入椭圆的标准方程得
,得
,
因此,椭圆的方程为;
(2)由题意知,当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,则
.
将直线的方程与椭圆方程联立
,得
.
由韦达定理可得,
①,
所以,,则线段
的中点坐标为
.
则线段的垂直平分线方程为
,即
,
即,此时,线段
的垂直平分线过定点;
当直线的斜率不存在时,直线的垂直平分线就是
轴,也过点
;
综上所述,线段的垂直平分线过定点
.
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