题目内容
【题目】动点在圆
:
上运动,定点
,线段
的垂直平分线与直线
的交点为
.
(Ⅰ)求的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点的直线
,
分别交轨迹
于
,
两点和
,
两点,且
.证明:过
和
中点的直线过定点.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用线段的中垂线的性质和椭圆的定义判定动点的轨迹为椭圆,再求其轨迹方程;(Ⅱ)先利用直线的特殊情况探索直线过定点,再联立直线和椭圆方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式进行求解.
试题解析:(Ⅰ)连接,根据题意,可知
,则
,
故点的轨迹
为以
、
为焦点,长轴长为4的椭圆,则
,
,
∴,
所以点的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)分别设直线和
的中点为
、
,当直线
斜率不存在或为0时,分析可知直线
与
轴重合,当直线
的斜率为1时,此时
,
,直线
的方程为
,联立解得直线
经过定点
.
下面证明一般性:当直线的斜率存在且不为0,1时,设直线
的方程为
,
则直线的方程为
,设
,
,
联立消去
得
,
则,所以
,
即,同理:
,
于是直线的斜率为
,
故直线的方程为
,
显然时,
,故直线经过定点
.
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