Question

【题目】如图，在梯形中， ， ， ，平面平面，四边形是矩形， ，点在线段上.

（1）当为何值时， 平面？证明你的结论；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）当时，根据三角形相似及平行线的性质可证明是矩形，从而得四边形是平行四边形，所以，进而根据相面平行的性质可得结论；（2）以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）当时， 平面，证明如下：

在梯形中，设，连接，

因为， ，

所以，又，

因为∽,

因此，

所以，因为是矩形，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面， 平面，

所以平面；

（2）在平面内过点作，

因为平面平面，且交线为，

则平面，即， ，

以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ，

所以， ， ， ，

设平面的法向量为，则，

∴，取，

同理可得平面的法向量，

所以，

因为二面角是锐角，所以其余弦值是.