题目内容
【题目】已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间[0, ]上的单调性;
(3)当x∈[0, ]时,关于x的方程f(x)=a 恰有两个不同的解,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)=4cosωxsin(ωx+ )
=2 sinωxcosωx+2
cos2ωx,
= (sin 2ωx+cos 2ωx)+
,
=2sin(2ωx+ )+
,
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有 =π,
故ω=1
(2)解:由(1)知,f(x)=2sin(2x+ )+
.若0≤x≤
,则
≤2x+
≤
.
当 ≤2x+
≤
,即0≤x≤
时,f(x)单调递增;
当 ≤2x+
≤
,即
≤x≤
时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间[
,
]上单调递减
(3)解:x∈[0, ]时,关于x的方程f(x)=a 恰有两个不同的解,
即y=a与函数在[0, ]上,与f(x)=2sin(2x+
)+
由两个交点,
由函数图象可知:a∈[2 ,2+
),
实数a的取值范围[2 ,2+
)
【解析】(1)由两角和的正弦公式及辅助角公式化简f(x),根据周期公式即可求得ω的值;(2)由(1)求得f(x)的解析式,根据正弦函数图象及性质即可判断函数区间[0, ]上的单调性;(3)由题意可知y=a与函数在[0,
]上,与f(x)=2sin(2x+
)+
由两个交点,根据函数图象即可求得实数a的取值范围.
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