Question

15．如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD=2，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD；
（3）若PC⊥CD，PB=4，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）要证PA⊥BD，只需证明AB⊥BD、PB⊥BD（因为PA、PB是平面PAB内的两条相交直线）；
（2）在上l取一点E，使PE=BC，利用直线l∥直线BC，推出PC∥BE，可以证明直线PC∥平面EBD；
（3）证明PB⊥平面ABCD，再求四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （1）证明：∵ABCD为直角梯形，AD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$BD，
∴AB⊥BD，
∵PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB，
BD⊥平面PAB，
∵PA?面PAB，∴PA⊥BD；
（2）解：在上l取一点E，使PE=BC，
∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，
∴PC∥BE，PC?平面EBD，BE?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）解：∵PC⊥CD，DC⊥BC，PC∩BC=C，
∴DC⊥平面PBC，
∴DC⊥PB，
∵PB⊥BD，BD∩DC=D，
∴PB⊥平面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×4$=2．

点评 本题考查直线与直线垂直，直线与平面平行与垂直，四棱锥P-ABCD的体积，考查空间想象能力，是中档题．