题目内容
【题目】三棱锥
中，
，△
为等边三角形，二面角
的余弦值为
，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
.则三棱锥体积的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
由已知作出图象，找出二面角
的平面角，设出
的长，即可求出三棱锥
的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有
长度的字母表示），再设出球心
，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得的长度，则三棱锥体积的最大值可求.
如图所示，过点
作
面
，垂足为
，过点作
交于点
，连接
，
则
为二面角
的平面角的补角，即有
，
易知
面
，则
，而△
为等边三角形，
∴为中点，
设
，
则
c
，
故三棱锥的体积为：
，
当且仅当
时，体积最大，此时
共线.
设三棱锥的外接球的球心为，半径为
，
由已知，
，得
.
过点作
于F，则四边形
为矩形，
则
， 
，
，
在
△
中
，解得
∴三棱锥的体积的最大值为：
.
故选：D.
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