题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且四个顶点构成的四边形的面积是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线经过点
,且不垂直于
轴,直线
与椭圆
交于
,
两点,
为
的中点,直线
与椭圆
交于
,
两点(
是坐标原点),若四边形
的面积为
,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)离心率提供与
的关系,四个顶点构成的四边形对角线互相垂直,列出等量关系求
,
的值;
(2)直线经过点
,由直线点斜式方程设出直线
的方程,并设出直线
与椭圆
交点
、
的坐标,联立方程,由韦达定理可表示出
的中点
的坐标;由中点
的坐标可得直线
的方程,联立直线
的方程与椭圆
的方程,利用韦达定理可求
,再利用点到直线距离公式可求点
、
到直线
的距离,由四边形
的面积为
可列出等量关系,最后可求出直线
的方程.
解:(1)由题意可得,
解得,
,
故椭圆的方程为
.
(2)设直线的方程为
,
,
.
联立,整理得
,
则,
,
从而,故
,
直线的斜率为
,所以直线
的方程为
,
即.
联立,整理得
,
则.
设点到直线
的距离为
,则点
到直线
的距离也为
,
从而.
∵点,
在直线
的两侧,
∴,
∴,则
,
∵,
∴,
则四边形的面积
,
∵四边形的面积为
,
∴,解得
,
故直线的方程为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施.国家统计局发布的数据显示,从2012年到2017年,中国的人口自然增长率变化始终不大,在5‰上下波动(如图).
为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分为9组,每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数,得到下表:
年龄区间 | |||||||||
有意愿数 | 80 | 81 | 87 | 86 | 84 | 83 | 83 | 70 | 66 |
(1)设每个年龄区间的中间值为,有意愿数为
,求样本数据的线性回归直线方程,并求该模型的相关系数
(结果保留两位小数);
(2)从,
,
,
,
这五个年龄段中各选出一对夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这5对夫妻中任选2对夫妻.求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率.
(参考数据和公式:,
,
,
,
,
)