题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，点
分别是椭圆
的上、下顶点，线段
长为
，椭圆的离心率为
．
（1）求该椭圆的方程；
（2）已知过点
的直线
与椭圆交于
两点，直线
与直线
交于点
．
①若直线的斜率为
，求点的坐标；
②求证点在一条定直线上，并写出该直线方程．
【答案】（1）
；（2）①
；②证明详见解析，直线方程为
．
【解析】
（1）由短轴长及离心率和
之间的关系求出
的值，进而求出椭圆的方程；
（2）①由（1）可得
的坐标，设直线
的方程，与椭圆联立求出
的坐标，求出直线
，再求两条直线的交点
的坐标；
②设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线，再求两条直线的交点的坐标
与的坐标的关系，由两根之和及两根之积代入可得
，解得，即在直线上．
（1）
，
，
又
，解得：
，
椭圆的方程为；
（2）①由（1）可得：
，
，设
，
，
直线
方程为
，代入椭圆方程整理得：
解得：
，
，
，
直线
方程为：
；直线
方程为
，
由
得：
，，
；
②设，，
由
整理可得：
，
则
，
，
直线方程为
；直线方程为
；
由
得：
，
又
，
，
，
，
，
在定直线上.
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