题目内容
【题目】正方体的棱长为,动点在对角线上,过点作垂直于的平面,记平面截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为,设,.
(1)下列说法中,正确的编号为______.
①截面多边形可能为六边形;②;③函数的图象关于对称.
(2)当时,三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】①③
【解析】
(1)运用正方体的对角线的性质和对称性,得到截面为正三角性或正六边形,计算即可得到结论;
(2)确定外接圆的球心在OP上,运用勾股定理求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.
(1)正方体的棱长为2,可得对角线长为,
对于①中,由线面垂直的判定定理和性质,可得平面,
当截面经过中点时,此时得到的截面垂直与,且为正六边形,所以截面多边形可能为六边形,所以是正确的;
对于②中,当时,可得截面为等边,如图所示,
设等边的边长为,可得,
在直角中,可得,即,
解得,所以截面的周长,所以②不正确;
③根据正方体的对称性,可得函数的图象关于对称,所以是正确的;
(2)由正方体的棱长为2,可得对角线长为,
当时,可得点恰为对角线的中点,则P在底面上的射影为AC的中点,
由球的性质,可得球心在上,
设球的半径为,可得,即,解得,
所以三棱锥为外接球的表面积为.
故答案为:①③,.
【题目】某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情,对单位的职工进行防疫知识培训,所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩,统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工,其余来自在线培训的职工,并得到如下统计图表:
线下培训茎叶图在线培训直方图
(1)得分90分及以上为成绩优秀,完成下边列联表,并判断是否有的把握认为成绩优秀与培训方式有关?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
线下培训 | |||
在线培训 | |||
合计 |
(2)成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个,其中在线培训个数是,求分布列与数学期望.
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |