题目内容
【题目】如图1，梯形
中，
，过
分别作
，
，垂足分别为
、
.
，
，已知
，将梯形沿
，
同侧折起，得空间几何体
，如图2.
（1）若
，证明：
平面
；
（2）在（1）的条件下，若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先证
平面
，得到
，结合
，可证得
平面
；
（2）以
，
，分别为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系，求出面ADF与面ACF的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的余弦值，由图可知二面角
为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案.
（1）由已知得四边形是正方形，且边长为2，
在图2中，
，由已知得
，
，∴平面，
又
平面，∴，又，
，∴平面.
（2）在图2中，由（1）知
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.设平面
的一个法向量为
，
由
得
，不妨取
，得
，
设平面
的一个法向量为
，
由
得
，取，得
，
.
由图可得，二面角为锐角，所以它的余弦值为
【题目】随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从
到
）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到
），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
，试证明
是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程
中，
.
【题目】随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：
成绩优秀 | 成绩不够优秀 | 总计 | |
参加选修课 | 16 | 9 | 25 |
不参加选修课 | 8 | 17 | 25 |
总计 | 24 | 26 | 50 |
（1）试运用独立性检验的思想方法你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；
（2）如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数
的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.
参考公式：
，其中
.
临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
