题目内容
【题目】为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心
处，
为居民小区，
的距离为200米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点
为线段向半圆外作等腰直角三角形
（
为直角顶点），使改造后的公园成四边形
，如图所示．
（1）若
时，与出入口的距离为多少米？
（2）设计在什么位置时，公园的面积最大？
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）设
，在
中可表示
，进而可表示
，则在在
中利用余弦定理即可得解.
（2）设∠AOB＝α，利用余弦定理得到以及三角形的面积公式得到关于α的面积表达式，结合三角函数求最值．
解：（1）设
则在中
在中
则
米
（2）如图，设∠AOB＝α，则AB2＝OB2+OA2﹣2OB×OA×cosα＝50000﹣40000cosα，
又
12500﹣10000cosα，又
200×100sinα＝10000sinα，
∴S四边形OACB＝S△ABC+S△AOB＝12500﹣10000cosα+10000sinα＝10000（sinα﹣cosα）+12500＝10000
sin（
）+12500，
∴当sin（）＝1，即
时，四边形OACB面积最大为（10000
12500）m2．
【题目】保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y(单位：千元)有如下的统计资料：
距消防站距离x（千米） | 1.8 | 2.6 | 3.1 | 4.3 | 5.5 | 6.1 |
火灾损失费用y（千元） | 17.8 | 19.6 | 27.5 | 31.3 | 36.0 | 43.2 |
如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：
（Ⅰ）求相关系数
（精确到0.01）；
（Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；
（III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）.
参考数据：
，
，
，
，
，
参考公式：相关系数 
，回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
