Question

【题目】已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．
（Ⅰ）求整数m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由|2x﹣m|≤1，得 ．∵不等式的整数解为2，∴ 3≤m≤5． 又不等式仅有一个整数解2，∴m=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=4，故a4+b4+c4=1，
由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12）[（a2）2+（b2）2+（c2）2]
所以（a2+b2+c2）2≤3，即 ，
当且仅当 时取等号，最大值为
【解析】（Ⅰ）由条件可得 ，求得3≤m≤5．根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m的值．（Ⅱ）根据a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，从而求得a2+b2+c2的最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法和二维形式的柯西不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号；二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立．