Question

7．已知实数x和y满足方程：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$，试求：
（1）$\frac{y}{x}$的最值；
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$的最值．

Answer 1

分析 （1）设$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，圆心（-1，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$是圆上点与（2，3）距离，由于（2，3）与圆心的距离为3$\sqrt{2}$|，答案可得．

解答 解：（1）设$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，圆心（-1，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得k²=$\frac{1}{3}$．
所以k_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k_min=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$是圆上点与（2，3）距离，由于（2，3）与圆心的距离为3$\sqrt{2}$
则（$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$）_max=3$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，（$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$）_min=3$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．