题目内容
已知定义域为R的函数是奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断的单调性并证明;
(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断的单调性并证明;
(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)在R上为减函数,证明详见解析;(Ⅲ).
试题分析:(Ⅰ)思路一、由可求得a的值;
思路二、由于是R上的奇函数,所以,由此也可求得a的值.
(Ⅱ)思路一:根据函数单调性的定义证明;思路二:利用导数证明.
(Ⅲ)因是奇函数,从而不等式等价于
在R上为减函数,由上式得:解此不等式即可.
试题解析:(I)法一、函数的定义域为R,因为是奇函数,所以,
即,故.
法二、由是R上的奇函数,所以,故.
再由,
通过验证来确定的合理性 4分
(Ⅱ)由(1)知
由上式易知在R上为减函数.
证明:法一、由(1)知
设,则,
所以,所以在R上为减函数. 8分
法二、由(1)知
求导得:,所以在R上为减函数. 8分
(Ⅲ)又因是奇函数,从而不等式等价于
在R上为减函数,由上式得:
即对一切
从而 12分
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