Question

【题目】Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Monte-Carlo方法来估算定积分．考虑到等于由曲线，轴，直线所围成的区域的面积，如图，在外作一个边长为1正方形OABC．在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分的估计值．现向正方形OABC中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．

（1）求X的期望和方差；

（2）求用以上方法估算定积分时，的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率．

附表：

	1899	1900	1901	2099	2100	2101
	0.0058	0.0062	0.0067	0.9933	0.9938	0.9942

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.9871.

【解析】

（1）利用定积分求出曲边梯形的面积得到每个点落入的概率，再利用二项分布求出随机变量的期望和方差.

（2）所求概率为，利用表中数据可得结果.

(1)依题意，每个点落入中的概率为，，

所以.

(2)依题意，所求概率为

.