题目内容
【题目】曲线的右焦点分别为
,短袖长为
,点
在曲线
上,
直线
上,且
.
(1)求曲线的标准方程;
(2)试通过计算判断直线与曲线
公共点的个数.
(3)若点在都在以线段
为直径的圆上,且
,试求
的取值范围.
【答案】(1)(2)只有一个公共点(3)
【解析】
(1)根据椭圆的几何性质,列出方程组,求得的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)由,根据向量的数量积公式可得
的纵坐标,取得直线
的直线方程,
即可作出判定,得到答案;
(3)由得到
,进而得打不等式
,即可求解.
(1)由曲线的右焦点分别为
,短袖长为
,所以
,解得
,所以曲线
的标准方程为:
(2)由在
,
可得,解得
,所以
,
设,则
又由,则
,
即,解得
,所以
,
所以
若,则
,
由,解得
,
知道直线与曲线
相切,只有一个公共点;
若,同理可知直线与曲线相切,只有一个公共点;
(3)因为,
即,所以
所以,
又,所以
.
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