Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过椭圆E的左焦点且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两点，O为坐标原点，的面积为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）点M，N为椭圆E上不同两点，若，求证：的面积为定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)证明见解析

【解析】

（1）离心率提供一个等式，是椭圆的通径，通径长为，这样的面积又提供一个等式，两者联立方程组结合，可求得得椭圆标准方程．

（2）设，由得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得.应用韦达定理得，代入 可得的关系，注意，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长，求出到直线的距离，求得的面积，化简可得为定值，同样直线的不斜率存在时，也求得的面积和刚才一样，即得结论．

（1）设椭圆的半焦距为c，则①

过椭圆左焦点且与x轴垂直的直线方程为，与椭圆方程联立解得，

所以，所以②

把①代入②，解得

又，解得

所以E的方程为：

（2）设，因为，，

所以，即，

即

（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得.

则，

③

所以，整理得，代入③，

，

O到直线的距离，

所以

，即的面积为定值1

（ii）当直线的斜率不存在时，不妨设的斜率为且点M在第一象限，此时的方程为，代入椭圆方程，解得，此时的面积为.

综上可知，的面积为定值1