题目内容
【题目】在边长为的等边三角形
中,点
分别是边
上的点,满足
且
,将
沿直线
折到
的位置. 在翻折过程中,下列结论成立的是( )
A.在边上存在点
,使得在翻折过程中,满足
平面
B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面
平面
C.若,当二面角
为直二面角时,
D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为
,
的最大值为
【答案】D
【解析】
利用反证法可证明A、B错误,当且二面角
为直二面角时,计算可得
,从而C错误,利用体积的计算公式及放缩法可得
,从而可求
的最大值为
,因此D正确.
对于A,假设存在,使得
平面
,
如图1所示,
因为平面
,平面
平面
,故
,
但在平面内,
是相交的,
故假设错误,即不存在,使得
平面
,故A错误.
对于B,如图2,
取的中点分别为
,连接
,
因为为等边三角形,故
,
因为,故
所以均为等边三角形,故
,
,
因为,
,
,故
共线,
所以,因为
,故
平面
,
而平面
,故平面
平面
,
若某个位置,满足平面平面
,则
在平面
的射影在
上,也在
上,故
在平面
的射影为
,所以
,
此时,这与
矛盾,故B错误.
对于C,如图3(仍取的中点分别为
,连接
)
因为,所以
为二面角
的平面角,
因为二面角为直二面角,故
,所以
,
而,故
平面
,因
平面
,故
.
因为,所以
.
在中,
,
在中,
,故C错.
对于D,如图4(仍取的中点分别为
,连接
),
作在底面
上的射影
,则
在
上.
因为,所以
且
,所以
其
.
又
,
令,则
,
当时,
;当
时,
.
所以在
为增函数,在
为减函数,故
.
故D正确.
故选:D.
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