题目内容
【题目】已知O为坐标原点,,
,直线AG,BG相交于点G,且它们的斜率之积为
.记点G的轨迹为曲线C.
(1)若射线与曲线C交于点D,且E为曲线C的最高点,证明:
.
(2)直线与曲线C交于M,N两点,直线AM,AN与y轴分别交于P,Q两点.试问在x轴上是否存在定点T,使得以PQ为直径的圆恒过点T?若存在,求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析; (2)存在定点,使得以PQ为直径的圆恒过点T.
【解析】
(1)设点,根据
,求得点
的轨迹方程为
,联立方程组,解答
坐标,结合斜率公式,即可求解.
(2)设,则
,解得
,
,假设顶点T,使得PQ为直径的圆恒过点T,则
,求得
,即可得到结论.
(1)设点,因为
,即
,
整理得点的轨迹方程为
,
联立方程组,解得
且
,
所以,所以
.
(2)设,则
,
所以直线AM的方程为,令
,解得
,
同理可得,
假设定点T,使得PQ为直径的圆恒过点T,则,即
,
又由,可得
,所以
,
即在x轴上存在定点,使得以PQ为直径的圆恒过点T.
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