题目内容
【题目】过抛物线的焦点
的直线交抛物线于
两点,抛物线在
处的切线交于
.
(1)求证:;
(2)设,当
时,求
的面积
的最小值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)设直线的方程为
,代入抛物线方程
中,根据韦达定理和直线的斜率公式,以及导数的几何意义,可求出点E的坐标,根据斜率的关系即可证明;(2)根据向量结合韦达定理可得
,再根据弦长公式求三角形的面积公式表示出
,根据函数的性质即可求出最小值.
(1)显然斜率存在,设直线
的方程
,
代入抛物线方程中,得
,
设,由韦达定理得到
,
∵,∴
,∴直线
的斜率为
,
易知切线方程
,切线
的方程
,
当时,联立求得:
,故
,
. ,∴
,
又当时,显然有
.
所以.
(2)由,得
,结合韦达定理,
,从而
,
又,
,
,
由于在区间
上为减函数,
因此当有最小值
.
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