题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,焦点分别为
,点
是椭圆
上的点,
面积的最大值是
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,点
是椭圆
上的点,
是坐标原点,若
判定四边形
的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意得到的方程组,求出
的值,即可得出椭圆方程;
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,易求出四边形
的面积;当直线
的斜率存在时,设直线
方程是
,联立直线与椭圆方程,结合判别式和韦达定理,可表示出弦长
,再求出点
到直线
的距离,根据
和点
在曲线
上,求出
的关系式,
最后根据,即可得出结果.
解:(Ⅰ)由解得
得椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
或
,此时四边形
的面积为
.
当直线的斜率存在时,设直线
方程是
,联立椭圆方程
,
点到直线
的距离是
由得
因为点在曲线
上,所以有
整理得
由题意四边形为平行四边形,所以四边形
的面积为
由得
, 故四边形
的面积是定值,其定值为
.

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