Question

18．若不等式x²+ax≥a-3在x∈[-$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，则实数a的取值范围是[-7，$\frac{13}{6}$]．

Answer 1

分析 对x讨论，分x=1，当1＜x≤2时，当-$\frac{1}{2}$≤x＜1时，运用参数分离和函数的单调性，求得最值，即可得到所求a的范围．

解答 解：不等式x²+ax≥a-3在x∈[-$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
当x=1时，1＞-3恒成立；
当1＜x≤2时，即有-a≤$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最小值，
由y=$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的导数为y′=$\frac{（x-3）（x+1）}{（x-1）^{2}}$，
由1＜x≤2，可得（x-3）（x+1）＜0，即有y=$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$递减，
可得最小值为7，则-a≤7，解得a≥-7①
当-$\frac{1}{2}$≤x＜1时，即有-a≥$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最大值，
由y=$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的导数为y′=$\frac{（x-3）（x+1）}{（x-1）^{2}}$，
由-$\frac{1}{2}$≤x＜1，可得（x-3）（x+1）＜0，即有y=$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$递减，
可得最大值为-$\frac{13}{6}$，则-a≥-$\frac{13}{6}$，解得a≤$\frac{13}{6}$②
由①②可得a的范围是[-7，$\frac{13}{6}$]．
故答案为：[-7，$\frac{13}{6}$]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和函数的最值的求法，解题的关键是正确分类讨论和运用函数的单调性，属于中档题．