Question

10．已知函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求实数m的取值范围．
变式1：将（1）变为：若不等式mx²-mx-1＜0对m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围．
变式2：将（2）中条件“f（x）＜5-m恒成立”改为“f（x）＜5-m无解”，如何求m的取值范围．
变式3：将（2）条件“f（x）＜5-m恒成立”改为“存在x，使f（x）＜5-m成立”，如何求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论m=0，m＜0且判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）由参数分离和二次函数的最值求法，由恒成立思想，可得m的范围；
变式1：构造一次函数，由单调性，即可得到x的范围；
变式2：由参数分离和二次函数的最值求法，由无解的条件，可得m的范围；
变式3：由参数分离和二次函数的最值求法，由存在性问题的解法，可得m的范围．

解答 解：（1）对于x∈R，f（x）＜0恒成立，
即有m=0时，-1＜0恒成立；
当m＜0，且判别式△＜0即为m²+4m＜0，
解得-4＜m＜0，
综上可得，m的范围是（-4，0]；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即为m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在[1，3]恒成立，
由x²-x+1∈[1，7]，可得$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，
即有m＜$\frac{6}{7}$，即m的范围为（-∞，$\frac{6}{7}$）；
变式1：不等式mx²-mx-1＜0对m∈[1，2]恒成立，
即有f（m）=m（x²-x）-1＜0在[1，2]恒成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1＜0}\\{2{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
变式2：对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m无解，
即为m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在[1，3]无解，
由x²-x+1∈[1，7]，可得$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，最大值为6，
可得m≥6；
变式3：存在x，使f（x）＜5-m成立，即为
m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在[1，3]有解，
由x²-x+1∈[1，7]，可得$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，最大值为6，
可得m＜6．
即为m的取值范围是（-∞，6）．

点评 本题考查不等式恒成立与存在性，以及无解的问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的图象，属于中档题和易错题．