题目内容
【题目】定义在区间[a,b]上的连续函数y=f(x),如果,使得,则称为区间[a,b]上的“中值点”.
下列函数:①;②;③;④中,在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________.(写出所有满足条件的函数的序号)
【答案】①④
【解析】分析:由题意知“中值点”的意义是指在区间[0,1]上存在点,使得函数在该点处的切线的斜率等于区间[0,1]的两个端点连线的斜率.分别画出四个函数的图象,由此定义对四个函数逐个判断可得答案.
详解:由题意得“中值点”的意义是在区间[0,1]上存在点,使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0,1]的两个端点连线的斜率.
在同一坐标系中画出四个函数的图象(如下图).
对于①,根据题意,在区间[0,1]上的任何一点都是“中值点”,故①正确;
对于②,区间[0,1]两端点连线的斜率,即点(0,1)和(1,1)连线的斜率为0.又,由得,因此函数在区间[0,1]只存在一个“中值点”,故②不正确;
对于③,由题意得区间[0,1]两端点连线的斜率为ln2,又,由于只有一个解,所以函数f(x)=ln(x+1)在区间[0,1]只存在一个“中值点”,故③不正确;
对于④,同理并结合对称性,可得函数在区间[0,1]存在两个“中值点”,故④正确.
综上可得①④正确.
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