题目内容
【题目】已知函数f（x）=-a2 lnx+x2-ax（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的单调性：
（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）a∈（-
e，-2
）．
【解析】分析：（1）根据函数定义域，求f'（x）=
，根据a 的取值情况分类讨论导数的符号，研究其单调性。
（2）根据（1）中单调区间，判断有两个零点的条件，列出不等式组求出a的范围即可。
详解：（1）f（x）的定义域为（0，+
）．
由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）
可知f'（x）=
，
所以若a>0，则当x∈（0，a）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈（a，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增；
若a=0，则当f'（x）=2x>0在（0，+）内恒成立，函数f（x）单调递增；
若a<0，则当x∈（0，-
）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增．
（2）若a>0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增．
若a<0，f（x）在（0，-）单调递减，在（-，+）单调递增．
由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有
或
得a无解或a∈（-e，-2）.
综上，a∈（-e，-2）．
【题目】某校为了分析本校高中生的性别与是否喜欢数学之间的关系，在高中生中随机地抽取了90名学生调查，得到了如下列联表：
喜欢数学 | 不喜欢数学 | 总计 | |
男 | 30 | ① | 45 |
女 | ② | 25 | 45 |
总计 | ③ | ④ | 90 |
（1）求①②③④处分别对应的值；
（2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢数学”有关？
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
