题目内容
11.在△ABC中,若∠A=90°,BC=2$\sqrt{3}$,O为中线AM上一动点,则$\overrightarrow{OA}•(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$的最小值是( )A. | -$\frac{9}{2}$ | B. | -$\frac{7}{2}$ | C. | -$\frac{3}{2}$ | D. | -$\frac{1}{2}$ |
分析 由直角三角形的斜边上的中线的性质可得AM的长,再由向量的中点的表示,结合向量的数量积的定义和基本不等式,计算即可得到最小值.
解答 解:由于∠A=90°,BC=2$\sqrt{3}$,
则斜边上的中线AM=$\sqrt{3}$,
则$\overrightarrow{OA}•(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$=$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$
=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|
≥-2•($\frac{|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OM}|}{2}$)2=-2•($\frac{\sqrt{3}}{2}$)2=-$\frac{3}{2}$.
当且仅当|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OM}$|,即O为AM的中点,
取得最小值-$\frac{3}{2}$.
故选:C.
点评 本题考查向量的数量积的定义,考查基本不等式的运用:求最值,同时考查直角三角形的斜边的中线的性质,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目