题目内容

11.在△ABC中,若∠A=90°,BC=2$\sqrt{3}$,O为中线AM上一动点,则$\overrightarrow{OA}•(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$的最小值是(  )
A.-$\frac{9}{2}$B.-$\frac{7}{2}$C.-$\frac{3}{2}$D.-$\frac{1}{2}$

分析 由直角三角形的斜边上的中线的性质可得AM的长,再由向量的中点的表示,结合向量的数量积的定义和基本不等式,计算即可得到最小值.

解答 解:由于∠A=90°,BC=2$\sqrt{3}$,
则斜边上的中线AM=$\sqrt{3}$,
则$\overrightarrow{OA}•(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$=$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$
=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|
≥-2•($\frac{|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OM}|}{2}$)2=-2•($\frac{\sqrt{3}}{2}$)2=-$\frac{3}{2}$.
当且仅当|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OM}$|,即O为AM的中点,
取得最小值-$\frac{3}{2}$.
故选:C.

点评 本题考查向量的数量积的定义,考查基本不等式的运用:求最值,同时考查直角三角形的斜边的中线的性质,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网