题目内容
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,且nan+1=(n+2)Sn , n∈N* .
(1)求证:数列 为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)证明:∵nan+1=(n+2)Sn,n∈N*.∴n(Sn+1﹣Sn)=(n+2)Sn,∴ =2× ,
∴数列 为等比数列,首项为1,公比为2,
(2)解:由(1)可得: =2n﹣1,∴Sn=n2n﹣1.
∴数列{Sn}的前n项和Tn=1+2×2+3×2n+…+n2n﹣1.
∴2Tn=2+2×22+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n,
∴﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n2n,
∴Tn=(n﹣1)2n+1.
【解析】(1)nan+1=(n+2)Sn , n∈N* . 可得n(Sn+1﹣Sn)=(n+2)Sn , 变形为 =2× ,即可证明.(2)由(1)可得: =2n﹣1 , 可得Sn=n2n﹣1 . 利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等比数列的通项公式(及其变式)(通项公式:),还要掌握数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)的相关知识才是答题的关键.
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