题目内容
【题目】已知圆,A为圆O1上任意一点,点D在线段
上.
,已知
,
.
(1)求点D的轨迹方程H;
(2)若直线与方程H所表示的图像交于E,F两点,
是椭圆
上任意一点.若OG平分弦EF,且
,
,试判断四边形OEGF形状并证明.
【答案】(1);(2)平行四边形,见解析
【解析】
(1)由题可得,得D的轨迹是以
为焦点的椭圆,求出
,可得轨迹方程;
(2) 联立,利用韦达定理及弦长公式表示出
,列方程求出
的值,进而可得EF平分OG,从而判断四边形OEGF形状.
解:(1) ∵,
∴DC为AB中垂线,
∴,
∴,
∴D的轨迹是以为焦点的椭圆,且
,
,解得
,
∴点D轨迹方程H:;
(2)联立,
,
设,
∵OG平分EF,
∴由中点弦公式有,①
∴,
又G到EF距离为,
∴,
利用①以及有
,
化为,
令,则
(*),观察有t = 1是一解,
∴,
又,∴
,
又由,
∴,
∴方程(*)有唯一解t = 1即,
∴,
∴EF也平分OG,
故四边形OEGF对角线相互平分,四边形OEGF是平行四边形
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