Question

【题目】已知点为坐标原点，椭圆：（）过点，其上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线交椭圆于，两点（异于点），，试判定直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线过定点.

【解析】

（Ⅰ）根据题意得到，之间的关系式，再结合椭圆的性质，即可求解；

（Ⅱ）先设出直线的方程，分类讨论，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，分别利用斜率公式化简求值进行计算，得出直线的方程，即可得解.

（1）因为椭圆：（）过点，所以.①

又因为，所以.因为，所以.②

把②代入①中，解得，，所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）直线过定点.

理由如下：当直线与轴垂直时，设的方程为，

点，，.

因为，

所以，此时直线过椭圆的右顶点，

与已知直线交椭圆于，两点矛盾；

当直线与轴不垂直时，设的方程为，点，.

联立得，

则.

由韦达定理得，.

所以

.

又因为，所以，，所以存在，使成立.

此时直线的方程为，即，所以直线过定点.