题目内容
20.如图,某公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(Ⅰ)设AD=x,DE=y,求y关于x的函数关系式;
(Ⅱ)如果DE是灌溉水管,我们希望它最短,则DE的位置应在哪里?请予以证明.
分析 (Ⅰ)在△ADE中,由余弦定理可得x,y,AE之间的关系,然后由S△ADE=$\frac{1}{2}$S△ABC,结合面积公式可求x与AE的关系,从而可求;
(Ⅱ)由题意可得y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$,利用基本不等式可求函数的最小值.
解答 解:(Ⅰ)在△ADE中,y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2-x•AE,①,
又S△ADE=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$x•AE•sin60°②
∴AE=$\frac{2}{x}$≤2
∴x≥1,
②代入①得y2=x2+($\frac{2}{x}$)2-2(y>0)),
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$(1≤x≤2),
(Ⅱ)如果DE是水管y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$≥$\sqrt{2•2-2}$=$\sqrt{2}$,
当且仅当x2=$\frac{4}{{x}^{2}}$,即x=$\sqrt{2}$时“=”成立,
故DE∥BC且AD=$\sqrt{2}$时水管的长度最短.
点评 本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式在求解三角形中的应用,及基本不等式在函数的最值求解中的应用,计算虽然简单,但是考查的内容具有较强的综合性.
练习册系列答案
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