题目内容
5.设x,y∈R,则(x2+$\frac{1}{{y}^{2}}$)($\frac{1}{{x}^{2}}$+4y2)的最小值为9.分析 化简(x2+$\frac{1}{{y}^{2}}$)($\frac{1}{{x}^{2}}$+4y2))=5+$\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}$+4x2y2,并由基本不等式即可得出最小值.
解答 解:(x2+$\frac{1}{{y}^{2}}$)($\frac{1}{{x}^{2}}$+4y2)=5+$\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}$+4x2y2
≥5+2$\sqrt{4{x}^{2}{y}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}}$=5+4=9.
当且仅当$\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}$=4x2y2
即xy=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$,取得最小值,且为9.
故答案为:9.
点评 本题考查了基本不等式的运用:求最值,注意满足的条件:一正二定三等,属于基础题.
练习册系列答案
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