Question

【题目】（1）已知函数，试判断函数的单调性，并说明理由；

（2）已知函数.

（i）判断的奇偶性，并说明理由；

（ii）求证：对于任意的x ,y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠1都有①.

（3）由⑵可知满足①式的函数是存在的，如．问：满足①的函数是否存在无穷多个？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）在(∞，1)和(-1,+∞)上单调递增，理由见解析；（2）（i）奇函数，理由见解析； （ii）证明见解析 （3）存在无穷多个，理由见解析.

【解析】

（1）利用函数单调性的定义进行判断即可；

（2）（i）利用奇偶函数的定义进行判断即可；

（ii）利用对数的运算法则通过计算可以证明出结论；

（3）通过取特例，结合（2），可以判断存在存在无穷多个.

（1）对任意的，且，

则，

因为，所以，即，

所以函数在区间(∞，1)上是单调递增，同理可得在区间(-1,+∞)上单调递增；

（2）（i）的定义域为，

对任意的，有，

且，

所以为奇函数，

又，所以不是偶函数；

（ii）对于任意的x,y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠1，

因为，

所以；

（3）设，则对于任意的x, y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠1，都有

即满足①，因为 k 有无穷多个，所以这样的也有无穷多个．