题目内容
【题目】若向量 = , =(sinωx,0),其中ω>0,记函数f(x)=( + ) ﹣ .若函数f(x)的图象与直线y=m(m为常数)相切,并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列.
(Ⅰ)求f(x)的表达式及m的值;
(Ⅱ)将f(x)的图象向左平移 个单位,再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)后得到y=g(x)的图象,求y=g(x)在 上的值域.
【答案】解:(Ⅰ)∵向量 = , =(sinωx,0),∴函数f(x)=( + ) ﹣ = + ﹣ = +sin2ωx﹣ = sin2ωx﹣ cos2ωx=sin(2ωx ),
∵函数f(x)的图象与直线y=m(m为常数)相切时,
切点的横坐标依次成公差是π的等差数列.
故T=π,m=±1,
即2ω=2,ω=1,
∴ ,m=±1
(Ⅱ)将f(x)的图象向左平移 个单位,
可得 的图象,
再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)后得到y=g(x)= 的图象,
当x∈ 时, ∈ ,
故当 = 即x= 时,函数最最大值2,
当 = 即x= 时,函数最最小值﹣1,
故y=g(x)在 上的值域为:[﹣1,2]
【解析】(Ⅰ)由已知结合向量的数量积运算,倍角公式,和差角公式,可得f(x)的表达式及m的值;(Ⅱ)求出y=g(x)解析式,结合正弦函数的图象和性质,可得y=g(x)在 上的值域.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换(图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象).