题目内容
【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为
,M为椭圆上任意一点,当∠F1MF2=90°时,△F1MF2的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意可求得,则
,椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,
当直线的斜率不存在或直线
的斜率不存在时,
.
当直线、
的斜率存在时,
,设直线
的方程为
,联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理计算可得直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,则
.综上可得:直线
与
的斜率之积为定值
.
(Ⅰ)设由题
,
解得,则
,
椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,当直线
的斜率不存在时,
设,则
,直线
的方程为
代入
,
可得
,
,则
,
直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
设直线
的方程为
,
则由消去
可得:
,
又,则
,代入上述方程可得:
,
,
则
,
设直线的方程为
,同理可得
,
直线
的斜率为
直线
的斜率为
,
.
所以,直线与
的斜率之积为定值
,即
.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意利用导函数研究函数的切线方程,得到关于a,b的方程组,求解方程组并检验可得,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,则
在(-1,0)处的切线方程为
,构造函数
,结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.
(Ⅰ)由题意,所以
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,
故,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
,
设在(-1,0)处的切线方程为
,易得,
,
令即
,
,
当时,
,
当时,设
,
,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
故.
,设
的根为
,则
又函数
单调递减,
故,故
,
设在(0,0)处的切线方程为
,
易得令
,
,
当时,
,
当时,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
,
设的根为
,则
又函数
单调递增,
故,故
,
又,
.
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